El trabajo con la multiplicación y la división

La enseñanza de la multiplicación y la división a lo largo de la escolaridad es un proceso que exige brindar e identificar los diferentes problemas que estas herramientas permiten resolver, así como elaborar distintas estrategias de cálculo que sean pertinentes al utilizar estas operaciones.

A través de las distintas experiencias que vivimos en el aula podemos apreciar que en toda la escolaridad, no todos los niños logran construir el sentido de las operaciones sino un simple desarrollo del algoritmo muchas veces sin saber el porqué se realiza.

Debemos abordar este problema a través de situaciones concretas, en el que se trabaje el significado de las operaciones asi como la relación entre ellas. Con esto no se quiere decir que no se tome el algoritmo, sino que se lo considere como uno de los tantos aspectos que interviene en la adquisición de las operaciones, como también el cálculo, las propiedades de las operaciones, las relaciones entre las propiedades, etc.

Todos los aspectos que intervienen cuando abordamos el contenido de las operaciones requiere para su enseñanza y adquisición varios contextos, escenarios y situaciones que permitan realizar un análisis crítico y reflexivo, pudiendo discriminar la información que nos presenta y de esa manera no identificar mecánicamente un aspecto con un contexto determinado.

Debemos presentarle a los niños un escenario desde lo cotidiano, de lo que viven cada día ya sea desde el hogar, la escuela, el barrio, etc. a través de actividades lúdicas así como también relacionada con otras áreas.

Cuando se plantea la necesidad de presentar diversas actividades, se pretende que en esas actividades se involucren, para poder resolverlas, distintos aspectos de un mismo contenido y de esa manera el niño no asocia una operación a una situación concreta sino que va construyendo el sentido de las operaciones más allá de la situación que se le plantee.

LA MULTIPLICACIÓN

¿Qué significa saber multiplicar?

Saber multiplicar implica reconocer en que problemas la multiplicación es un recurso para poder resolverlo. Es disponer de procedimientos y estrategias para calcular, es establecer relaciones entre los distintos aspectos de este concepto (proporcionalidad, combinatoria, producto de medidas, etc.)

Es importante también reconocer los límites de este concepto, determinar en qué casos la multiplicación no es un instrumento válido para resolver la situación que se le plantee.

El significado lo van a ir construyendo cuando se conozca todos los contextos en que cobra sentido.

Se debe señalar que la multiplicación es un concepto que está relacionado con otros conceptos como la división, la fracción, la proporcionalidad y conforman lo que Vergnaud (1994) ha denominado el campo conceptual multiplicativo.

A continuación se reflexionará a través de distintas actividades, determinados contenidos que involucra el concepto a abordar.

CONTENIDO: los distintos significados de las operaciones.

El isomorfismo de medidas (proporcionalidad)

OBJETIVO: Proponer situaciones en diversos contextos que favorezcan la construcción del sentido de las operaciones.

Ir desde el uso social del conocimiento a la reflexión enriqueciendo el conocimiento.

Situación:

La clase de segundo año concurrió al supermercado y compraron paquetes de galletitas.

Sabiendo lo que cuestan 2 paquetes completar la tabla propuesta:

Paquetes de galletitas (A)

2

4

6

8

10

Precio (B)

30

Existen dos conjuntos, el conjunto de paquetes de galletitas y el de precios, que están relacionados entre sí, de manera que cualquiera sea la cantidad de paquetes de galletitas siempre va a tener un costo correspondiente.

Para dos cantidades diferentes de paquetes de galletitas, los precios que le corresponden son diferentes.

2 ≠ 4

30 ≠ 60

Se considera que esta es una función biyectiva. Un isomorfismo es una función biyectiva entre dos conjuntos que respeta la operación que hay definida en cada uno de ellos.

Por lo cual podemos decir que la función A B es un isomorfismo.

Volvamos nuevamente a la situación planteada:

Paquetes de galletitas (A)

2

4

6

8

10

5

Precio (B)

30

60

90

120

150

…..

Supongamos que ahora se plantea que se quiere averiguar el costo de 5 paquetes de galletitas, observar las posibles soluciones:

1- 10÷ 2= 5 por lo cual f (5)= f (10)÷2 150 ÷ 2= 75

Por lo cual 5 paquetes de galletitas costarían $75.

2- Otro camino para resolverlo sería calcular el costo de un paquete de galletitas.

Si dos paquetes de galletitas cuestan $30, una va a costar $15 , por lo cual 5 van a costar $75 (15 x 5).

3- Sabiendo que 5 es la mitad de 10 y 1º paquetes de galletitas cuestan $150, se calcula la mitad de 150 (150 ÷ 2) que corresponde a $75

Para poder calcular determinada cantidad X de paquetes de galletitas basta con calcular el valor de una unidad por la cantidad requerida.

Este tipo de función se le denomina Proporcionalidad directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Situación:

Disponemos de 19 cajas que llegaron al depósito de una librería. Sabiendo que en cada caja hay 12 libros, ¿cuántos libros llegaron a la librería?

Cantidad de cajas

Cantidad de libros

1

12

19

…….

A- Resolución de la situación. Procedimiento escalar.

En la situación planteada se parte de de una cantidad de cajas (19) a la que aplicaremos el producto (x12) para obtener así la cantidad de libros que llegaron a la biblioteca.

El operador (x12) es escalar que establece una relación entre cantidades d ela misma magnitud. Este procedimiento lo utilizamos en la enseñanza de la multiplicación como una suma repetida.

B- Resolución de la situación. Procedimiento funcional.

En este procedimiento la multiplicación 19 X 12 representa:

19 cajas x 12 libros por caja = 228 libros llegaron a la librería. Pasamos de una medida (las cajas) a otra (los libros).

Este procedimiento establece una razón entre el número de cajas y el número de libros.

En este caso el operador no es escalar ya que está dimensionado: 12 libros por caja.

Los caminos de resolución son equivalentes pero no iguales y pone en juego las posibles dificultades de asimilación de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Las diferencias entre estos dos procedimientos presentados se observa mejor cuando abordamos los problemas de división asociados a esta situación multiplicativa.

LA DIVISIÓN

La enseñanza de la división genera en los docentes muchas inquietudes. Por un lado, se cuestiona qué significa “saber dividir”. Las respuestas que la escuela puede dar a este interrogante son muy amplias y de acuerdo con ellas se enfatizará el trabajo sobre diferentes aspectos, por ejemplo, el dominio de los algoritmos o la resolución de determinado tipo de problemas. Otra preocupación se vincula a cómo ayudar a los niños a reconocer las situaciones de empleo de la división como herramienta de resolución de determinado problema

Los niños desarrollan operaciones de división de manera natural antes de comenzar la escuela. Aprenden a tomar turnos, dividen los caramelos equitativamente y hacen tareas simples como poner la mesa (hay 6 tenedores y cada persona recibe una).

A pesar de que podemos definir a la división como la operación inversa a la multiplicación podríamos decir que al abordar y reflexionar sobre la enseñanza de la multiplicación también reflexionamos sobre la división. Sin embargo hay determinadas dificultades específicas en su aprendizaje con el que el niño se enfrenta.

Reiteradamente se dejó claro que aprender una operación no se refiere a aprender su algoritmo y convirtiéndose en el eje central del aprendizaje.

Aprender a dividir requiere elaborar, tener cierto dominio y reflexionar sobre recursos y estrategias que nos permite llegar a un resultado con éxito.

Pero lo que debemos enseñar es que los niños reconozcan en qué situaciones deben emplear la división y en cuáles no. Así como también que relaciones tiene con las demás operaciones.

Las relaciones existentes con las demás operaciones irá apareciendo en ese proceso de aprendizaje, donde deberán apelar a los conocimientos previos para poder enfrentarse a los problemas de división.

Llegó la nutricionista a la escuela a dar una charla sobre alimentación a los alumnos de 4° año. Repartió 32 folletos en 4° A y 45 en 4° B.

¿Cuántos folletos repartió en total?

Todos los alumnos, seguro habían aprendido a sumar, restar multiplicar y dividir por una cifra.

Reflexiones sobre la situación:

Una vez planteada la propuesta a los niños se entabló el siguiente diálogo:

Niños: ¿No sabemos cómo resolverlo?

Maestra: ¿Qué tienen que resolver?

Niños: las divisiones del problema. Todavía no nos enseñaste a dividir entre dos cifras, no podemos dividir 32 :45 ni 45:32

Maestra: ¿No hay otra manera de resolverlo? ¿Hay que dividir?

Niños: seguro, si dice cuántos se repartieron y cuando se reparte se divide.

Hay determinadas dificultades que se detectan a los a largo de toda la escolaridad y es que no se modifican los significados que le atribuimos a los conceptos que abordamos. Los niños de diferentes niveles relacionan la división con el repartir y dan por sentado que el cociente debe ser menor que el dividendo así como también tienen en cuenta otros elementos que conforman la operación.

Estas características, las cuales son válidas para los naturales, deben ser cuestionadas y en determinadas ocasiones modificarlas cuando abordamos las divisiones de fracciones o decimales.

Introduciendo la división….

El juego de los bandeirantes.

Se plantea un juego de mesa en el cuál se plantea determinadas situaciones que deberán resolver.

A- Para poder refugiarse de los bandeirantes, a José se le ofrece quedarse en un lugar pero debe dar 8 monedas de plata. En total tiene 50 monedas, ¿Cuántos días podrá quedarse en ese lugar?

B- Si se quiere quedar dos días más, ¿cuántas monedas de plata necesitará?

C- Ya se va quedando 3 días en el mismo lugar, ¿cuántas monedas deberá entregar?

La situación planteada permite iniciar el trabajo sistemático de la división, abarcando distintos aspectos de la misma.

En la parte A se trata de determinar el cociente de la división. La división que se plantea no es exacta, tiene un resto de 2, dato que será necesario en la parte B, determinando que necesitará 14 monedas de plata y no 16 para quedarse 2 días más en el lugar, para refugiarse de los bandeirantes.

La parte C puede ser resuelta con una multiplicación estableciendo así una relación inversa en el estudio de la división.

El concepto de división permite resolver diversos problemas, entre los que se encuentran los que permiten averiguar cuánto le corresponde a cada parte dentro de un reparto o en cuántas partes se puede repartir determinada cantidad conociendo lo que recibe cada una.

Se quieren repartir 36 libros entre 9 niños y que todos reciban la misma cantidad. ¿Cuántos le dan a cada uno? PROBLEMA DE REPARTO

Se quieren ordenar 36 libros en 9 estantes.

¿Cuántos estantes se necesitan para ordenar los libros? PROBLEMA DE PARTICIÓN

En cuarto año se puede proponer problemas de reparto y partición que impliquen analizar qué sucede con el resto, por ejemplo:

Se quieren ordenar 40 discos en 3 estuches con capacidad para 6 discos. ¿Puedo colocarlos a todos? ¿Sobran? ¿Cuántos?

En este problema de reparto, sobran discos. Al analizar qué se hace con el resto, se podrá concluir que en este caso no se puede seguir repartiendo.

En otros problemas el resto admite ser fraccionado. Por ejemplo al repartir dinero, por ejemplo:

La abuela le regala a María ya Martín dinero para su cumpleaños. Les regala $175 para que repartan en partes iguales.

¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

Concluyendo…

La comprensión y uso de la multiplicación y división, el dominio de los algoritmos y la habilidad para resolver diferentes situaciones que se puedan plantear se apoya en los conocimientos previos del niño.

El rol docente es fundamental como mediador entre los saberes de los niños, las situaciones de aprendizaje y los conceptos a abordar

Por lo tanto, las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer son fundamentales para generar hipótesis, estrategias y procedimientos por parte de los niños.

Se deben seleccionar problemas que sean adecuados para propiciar el aprendizaje del contenido a abordar.

Elegir actividades que favorezcan y pongan en juego los conocimientos que poseen con el propósito de lograr un verdadero aprendizaje significativo.

Debemos tener en cuenta que la enseñanza y el aprendizaje de un concepto es un proceso que suele tomar tiempo; algunos conceptos necesitan de unas semanas mientras que otros meses o aún años.

Sin embargo los niños pueden ir teniendo acceso a la noción, mientras que se va construyendo el concepto, solamente es necesario los conocimientos previos indispensables de la multiplicación y la división.